El trinomio de la forma x² + bx + c es un caso de factorización muy utilizado en el álgebra que recibimos durante nuestras horas de escuela y en algunas ocasiones puede llegar a complicarnos la vida escolar.
En esta entrada de … te mostramos como factorizar trinomios
de la forma x² + bx + c paso a paso ¡Basta de quebraderos de cabeza! Hoy
dominaremos este tipo de factorización a un nivel sin precedentes.
Antes de iniciar con los ejercicios y ejemplos debemos
conocer unos conceptos que pueden facilitarnos mucho las cosas.
¿En qué consiste el trinomio de la forma x² + bx + c?
Es un caso de factorización el cual consiste en convertir una expresión algebraica en dos binomios que multiplicados entre sí sean iguales a la cantidad original.
Características de los trinomios x² + bx + c
Para que a un trinomio podamos factorizar lo de la forma x² + bx + c deben cumplirse las siguientes condiciones:
·
El coeficiente del primer término debe ser 1.
·
El primer término es un valor literal cualquiera
(cualquier letra) elevada al cuadrado.
Ejemplos
1) x² + 5x + 6
2)
a² - 2a – 15
3)
m² + 5m – 14
· El segundo término debe tener la misma letra que
el primero puede estar acompañado de un valor numérico cualquiera y puede ser
tanto positivo como negativo
Volviendo a los ejemplos
anteriores
1)
X² + 5x + 6
2)
a² - 2a – 15
3)
m² + 5m – 14
·
El tercer término es una cantidad totalmente
independiente de la letra que está presente en el primer y tercer término;
puede ser positiva o negativa.
1) x² + 5x
+ 6
2) a² - 2a
– 15
3) m² + 5m
– 14
Estás características nos ayudarán a identificar
inmediatamente a un trinomio al que se le puede aplicar la forma x² + bx + c
Diferencia entre trinomio cuadrado perfecto y trinomio de
la forma x² + bx + c
El trinomio cuadrado perfecto es un caso de factorización
parecido al que hoy estamos estudiando, en realidad lo único en que ambos se
parece es en el hecho de que todas la expresiones algebraicas contienen tres
términos de allí el nombre trinomio.
Aquí te mostramos algunas diferencias.
·
En el trinomio perfecto el primer y tercer
término tiene raíz cuadrada exacta, mientras que en la forma x² + bx + c solo
el primer término posee raíz cuadrada exacta.
¿Cómo resolver trinomios de la
forma x² + bx + c?
Aquí te mostramos ejercicios resueltos de trinomios de la forma x² + bx + c explicados paso a paso.
Ejercicio N 1 : x² + 7x + 10
Para resolver este ejercicio:
Abrimos dos pares de paréntesis y en cada par de paréntesis el primer término que vamos a introducir es la raíz cuadrada de x² o sea x
X² + 7x + 10 = (x ) (x )
En el primer par de paréntesis colocaremos el signo que acompaña al segundo término del trinomio. En este caso el signo que acompaña a 7x es +
x² + 7x + 10 = (x + ) (x )
En el segundo par de paréntesis colocaremos el signo que resulta de multiplicar el primer signo por el segundo signo. Aplicamos la famosa ley de los signos.
+ * +
= +
x² + 7x + 10 = (x + ) (x + )
Ahora lo último y quizás lo más complicado es buscar dos números que al sumarse (depende de los signos que hayan quedado dentro de los paréntesis) den como resultado el 7 y que al multiplicarse el resultado sea 10
Esos números son 5 y 2
+5 + 2 = 7
+5 * +2 = 10
El resultado del trinomio quedará de esta forma
X² + 7x + 10 = (x + 5 ) (x +
2 )
Ejercicio N 2: x² -7x + 12
Para resolver este ejercicio:
- Abrimos dos pares de paréntesis y en cada par de paréntesis el primer término que vamos a introducir es la raíz cuadrada de x² o sea x
X² - 7x + 12 = (x ) (x )
- En el primer par de paréntesis colocaremos el signo que acompaña al segundo término del trinomio. En este caso el signo que acompaña a 7x es (-)
X² - 7x + 12 = (x - ) (x )
- En el segundo par de paréntesis colocaremos el signo que resulta de multiplicar el signo del primer término por el signo del segundo término. Aplicamos la ley de los signos.
- * + = -
X² - 7x + 12 = (x -
) (x - )
En el segundo par de paréntesis hemos colocado (–) porque al multiplicar más (+) por menos(-) el resultado es menos(-)
- Ahora lo último y quizás lo más complicado es buscar dos números que al restarse el resultado sea el mismo valor que el segundo termino – 7 y que al multiplicarse el resultado sea el mismo valor que el tercer término o sea 12
Esos números son -4
y -3
-4 - 3 = -7
-4 * -3 = 12
El resultado del trinomio quedará de esta forma
X² - 7x + 12 = (x - 4 ) (x - 3 )
Ejercicio N 3: x⁴ - 5x² - 50
En este ejercicio se aplica el mismo procedimiento que en
los ejercicios anteriores, sin embargo las características de este trinomio son
algo diferente, Es considerado un caso especial.
Para resolver este ejercicio:
- Abrimos dos pares de paréntesis y en cada par de paréntesis el primer término que vamos a introducir es la raíz cuadrada de x⁴ o sea x²
X⁴ - 5x² -50 = (x² ) (x² )
- En el primer par de paréntesis colocaremos el signo que acompaña al segundo término del trinomio. En este caso el signo que acompaña a - 5x² es menos(–)
X⁴ - 5x² - 50 = (x² - ) (x² )
- En el segundo par de paréntesis colocaremos el signo que resulta de multiplicar el signo del primer término por el signo del segundo término. Aplicamos la ley de los signos.
- * -
= +
X⁴ - 5x² - 50 = (x² - ) (x² + )
En el segundo par de paréntesis hemos colocado (+) porque al multiplicar menos (-) por menos(-) el resultado es mas(+)
X⁴ - 5x² - 50 = (x² - ) (x² + )
- Ahora lo último y quizás lo más complicado es buscar dos números que al restarse el resultado sea el mismo valor que el segundo termino - 5 y que al multiplicarse el resultado sea el mismo valor que el tercer término o sea - 50
Esos números son -10
y +5
-10 + 5 = -5
-10* +5 = -50
El resultado del trinomio quedará de esta forma
x⁴ - 5x² - 50 = (x²– 10 ) (x²+ 5 )
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