¿Cómo resolver un trinomio cuadrado perfecto?

 

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto es una tarea complicada , si no conoces los pasos adecuados para hacerlo, en esta artículo te explicamos paso a paso como factorizar por trinomio perfecto. Cuando acabes nuestra guía serás un experto en el tema.

Antes de entrar de lleno en el tema es importante que conozcamos algunos conceptos.

¿Qué es un trinomio?

Un trinomio es toda expresión algebraica que cuenta con tres términos

Ejemplos de trinomios

Expresión-algebraica-tres-terminos

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?

Es todo trinomio que es cuadrado de otra cantidad, es decir que para obtenerse tuvo que elevarse una cantidad al cuadrado.

No todos los trinomios son cuadrados de otras cantidades. En otras palabras no a todos los se les puede aplicar cuadrado perfecto.

Reglas para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

La primera regla es que sea trinomio, es decir que posea 3 términos

La segunda regla es que el primer y tercer término posean raíz cuadrada exacta

La tercer regla es que al multiplicar las raíces del primer y tercer término por 2 el resultado sea igual al segundo término

¿Cómo resolver trinomios cuadrados perfectos?

Para poder entender cómo se resuelven estás expresiones te explicaremos paso a paso unos ejercicios

Ejercicio n 1:     1 – 16ax² + 64a²x⁴

Al ser una expresión algebraica con tres términos podemos decir que se trata de un trinomio, pero aún no podemos asegurar que se trata de un trinomio perfecto. Para asegurarlo debemos

Comprobar que el primer y tercer término posean raíz cuadrada exacta:

Raíz cuadrada de 1 = 1

Raíz cuadrada de 64a²x⁴= 8ax² aparte de sacar la raíz de 64 también se debe sacar la raíz de a² y de x⁴

Multiplicar las raíces entre sí:

1 * 8ax² = 8ax²

Una vez multiplicadas las raíces entre sí debemos multiplicar ese resultado por 2 y comprobar que el valor sea igual al segundo termino del trinomio.

2 * 8ax² = 16ax²

 

Sí el resultado es igual al segundo termino ya hemos comprobado que el trinomio es cuadrado perfecto y por lo tanto solo falta plantear la respuesta

 

1 – 16ax² + 64a²x⁴ = ( 1 – 8ax² )²

La respuesta va ser igual a las dos raíces separadas por el signo del segundo termino y elevadas al cuadrado.

 

Ejercicio n 2 : 1/4 - b/3 + b²/9

Quizás al tratarse de fracciones te parezca más difícil, sin embargo el procedimiento es el mismo

Comprobar que el primer y tercer término posean raíz cuadrada exacta

Raíz cuadrada de 1/4 = 1/2

Raíz cuadrada de b²/9 = b/3

Multiplicar las raíces entre sí:

1/2 * b/3 = b/6

Una vez multiplicadas las raíces entre sí debemos multiplicar ese resultado por 2 y comprobar que el valor sea igual al segundo termino del trinomio.

2 * b/6 = 2b/6

simplificando el resultado será b/3

 

Sí el resultado es igual al segundo termino ya hemos comprobado que el trinomio es cuadrado perfecto y por lo tanto solo falta plantear la respuesta

 

1/4  - b/3 + b²/9 = ( 1/2 – b/3)²

La respuesta va ser igual a las dos raíces separadas por el signo del segundo termino y elevadas al cuadrado

 

Ejercicio n 3:  a² + 2a(a-b) + (a-b)²

Este ejercicio puede considerarse como un caso especial; ya que requiere un poco más de análisis, ¡Animo! Aquí te lo explicamos paso a paso.

Tiene tres términos por lo tanto es un trinomio ahora solo hay que asegurarnos que sea un trinomio perfecto

Comprobamos sí el primer y tercer término poseen raíz cuadrada exacta

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de (a-b)² = (a-b)

Multiplicamos las raíces entre sí

Multplicacion-de-binomios

Una vez multiplicadas las raíces entre sí debemos multiplicar ese resultado por 2 y comprobar que el valor sea igual al segundo termino del trinomio

Multiplicar-raices-por-dos

Anteriormente obteníamos el valor del segundo termino directamente al multiplicar por 2, pero en esta ocasión debemos aplicar un tipo de factorización para comprobar que el resultado sea igual al segundo termino

Sí el resultado es igual al segundo termino ya hemos comprobado que el trinomio es cuadrado perfecto y por lo tanto solo falta plantear la respuesta

a² + 2a(a-b) + (a-b)² = [a + (a-b)]²

La respuesta va ser igual a las dos raíces separadas por el signo del segundo termino y elevadas al cuadrado

Pero en este caso debemos hacer algo con la respuesta y es realizar la operación que hay dentro del paréntesis o corchetes

[a + (a-b)]²

Desarmamos los paréntesis de (a-b) y la expresión quedaría

[a + a -b]²

Ahora sumamos  a + a = 2a quedando:

[2a – b]²

Y esa será la respuesta final.

a² + 2a(a-b) + (a-b)² = (2a – b)²

Factorizar trinomios requiere un poco de practica si te ha quedado alguna duda puedes hacérmela saber en los comentarios y con gusto la aclarare