¿Cómo factorizar una suma o diferencia de cubos?

Factorizar una suma o diferencia de cubos perfectos es una tarea sencilla pero que muchas veces puede resultar difícil de comprender.
Antes de comenzar a explicar algunos ejercicios, OS dejo unos conceptos que facilitarán la comprensión de este caso de factorización.

En esta entrada te explicaremos cómo resolver sumas de cubos y restas de cubos paso a paso.

¿En que consiste la suma y diferencia de cubos?

Es un tipo de factorización que consiste en descomponer en factores una suma de binomios que son cubos de una cantidad o una resta de binomios que igualmente son cubos de una cantidad

¿Cuándo aplicar suma o diferencia de cubos?

Esta se aplica cuando una expresión algebraica reúne las siguientes condiciones 

•  Es una resta o suma de dos términos, es decir un binomio.        
• Cada término tiene raíz cubica exacta.

Ejemplos:

1)    27m³ + 64n⁹

2)    x⁹ + y⁹

3)    x¹² + y³

4)    1 – 27a³

En todos los ejemplos mostrados se puede aplicar suma o diferencia de cubos, ya que cada uno reúne las condiciones necesarias.

Suma y diferencia de cubos fórmula

En este caso de factorización vamos a utilizar dos formulas, una para la suma de cubos y otra para la resta de cubos

Suma de cubos formula: 

a³ + b³ = ( a + b ) ( a² - ab + b² )

Esta fórmula la utilizarse para resolver todas las sumas de binomios a los que se les puede aplicar suma de cubos.

 Resta de cubos formula

 

a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b² )

Esta fórmula la utilizarse para resolver todas las restas de binomios a los que se les puede aplicar resta de cubos.

 

¿Cómo resolver una suma o diferencia de cubos?

 

Ejercicio N 1: 27a³ + b⁶

Para resolver este ejercicio:

•     Comprobamos que los dos términos tengan raíz cubica exacta

Raíz cúbica de 27a³ = 3a

Raíz cúbica de b⁶ = b²

 

•      Una vez que hemos determinado la raíz cúbica, lo siguiente es abrir dos pares de paréntesis

 

27a³ + b⁶ = (  ) (   )

 

•       La expresión algebraica con la que estamos trabajando es una suma por lo tanto vamos a utilizar la fórmula

 

a³ + b³ = ( a + b) (a²  - ab + b² )

 

•       La formula indica que en el primer par de paréntesis colocamos una suma con las raíces extraídas

 

27a³ + b⁶ = ( 3a + b²) (   )

 

•       En el segundo par de paréntesis el primer término a colocar es el cuadrado de la primera raíz

La primera raíz 3a elevada al cuadrado es igual a 9a²

 

 27a³ + b⁶ = ( 3a + b²) ( 9a² )

 

•       El segundo término que vamos a colocar es el resultado de multiplicar las dos raíces acompañado de un signo menos (-)

3a * b² = 3ab²

Obedeciendo la formula:

 a³ + b³ = ( a + b) (a²  - ab + b² )

El segundo término del segundo paréntesis debe tener signo menos (-)

Entonces

3ab² = - 3ab²

27a³ + b⁶ = ( 3ª + b²) ( 9a² - 3ab² )

 

•      El tercer término del segundo paréntesis debe  ser el resultado de elevar al cuadrado la segunda raíz extraída

Segunda raíz extraída es b² elevada al cuadrado igual a b⁴

b² = b⁴

Resultado final

 

27a³ + b⁶ = ( 3a + b²) ( 9a² - 3ab² + b⁴ )

 

Ejercicio N 2 :   8x³ - 125

A diferencia del ejemplo anterior este es una resta al cual se aplica diferencia de cubo

Para resolver este ejercicio:

•       Comprobamos que los dos términos tengan raíz cubica exacta

 

Raíz cúbica de 8x³ =2x

Raíz cúbica de 125 = 5

 

•       Una vez que hemos determinado la raíz cúbica, lo siguiente es abrir dos pares de paréntesis

 

8x³ - 125 = (  ) (   )

 

•       La expresión algebraica con la que estamos trabajando es una resta por lo tanto vamos a utilizar la fórmula

 a³- b³ = ( a - b) (a²  + ab + b² )

 

•       La formula indica que en el primer par de paréntesis colocamos una resta con las raíces extraídas

 

8x³ - 125 = ( 2x – 5 ) (   )

 

•       En el segundo par de paréntesis el primer término a colocar es el cuadrado de la primera raíz

La primera raíz 2x elevada al cuadrado es igual a 4x²

8x³ - 125 = ( 2x - 5) ( 4x² )

•       El segundo término que vamos a colocar es el resultado de multiplicar las dos raíces acompañado de un signo mas (+)

 

2x * 5 = 10x

 

Obedeciendo la formula:

a³ - b³ = (a – b ) ( a² + ab + b² )

El segundo término del segundo paréntesis debe tener signo mas (+)

Entonces

10x = + 10x

8x³ + 125 = ( 2x – 5 ) ( 4x² + 10x )

 

•      El tercer término del segundo paréntesis debe ser resultado de elevar al cuadrado la segunda raíz extraída

Segunda raíz extraída es 5 elevada al cuadrado igual a 25

      

5 = 25

Resultado final

8x³ - 125 = ( 2x – 5 ) ( 4x² + 10x + 25)

 

Ejercicios N 3:  ( a + b) ³ + 1

En este ejercicio uno de los términos es un binomio entre paréntesis aunque a primera vista parece ser una operación compleja lo cierto es que los procedimientos a aplicar son los mismos.

Para resolver este ejercicio:

•       Comprobamos que los dos términos tengan raíz cubica exacta

 

Raíz cúbica de (a + b)³ = (a + b)

Raíz cúbica de 1 = 1

 

•       Una vez que hemos determinado la raíz cúbica, lo siguiente es abrir dos pares de paréntesis

 

( a + b )³ + 5 = (  ) (   )

 

•       La expresión algebraica con la que estamos trabajando es una suma por lo tanto vamos a utilizar la fórmula

 

( a + b)³ = ( a + b) (a²  - ab + b² )

 

•       La formula indica que en el primer par de paréntesis colocamos una suma con las raíces extraídas

 

(a + b)³ + 1 = ( (a + b) + 1) (   )

 

•       En el segundo par de paréntesis el primer término a colocar es el cuadrado de la primera raíz

 

La primera raíz es (a + b) elevada al cuadrado es igual (a + b)²

( a + b )³ + 1 = (( a + b) + 1) ( (a + b)²  )

 

•       El segundo término que vamos a colocar es el resultado de multiplicar las dos raíces acompañado de un signo menos (-)

 

(a + b) * 1 = (a+ b)

(a + b) = - (a + b)

Obedeciendo la formula:

a³ +b³ = (a + b ) ( a² - ab + b² )

El segundo término del segundo paréntesis debe tener signo menos (-)

Entonces

(a + b) = - (a + b)

(a + b)³ + 1 = (( a + b) + 1) ( (a + b)² - (a +b)   )

 

•       El tercer término del segundo paréntesis debe ser resultado de elevar al cuadrado la segunda raíz extraída

 

Segunda raíz extraída es 1 elevada al cuadrado igual a 1

1= 1

Resultado casi final 

(a + b)³ + 1 = (( a + b) + 1) ( (a + b)² - (a +b) + 1  )

A diferencia de los ejercicios anteriores aquí falta un poco ya que este es considerado un caso especial de suma de cubos ¡Pero tranquilos¡ No falta mucho.

 

•       Debemos resolver un las operaciones que se encuentran dentro del segundo par de paréntesis

       

La primera operación se encuentra en el primer término del segundo paréntesis

Resolver (a + b)² = a² + 2ab + b²

 

•         Seguido de eso debemos desmantelar el segundo término el cual se encuentra entre paréntesis

 

-         * (a + b) = - a - b

 

•              El tercer término no requiere ninguna operación solo dejamos como está y el resultado es :

 

(a + b)³ + 1 = (( a + b) + 1) ( a² + 2ab + b² - a – b + 1)