¿Como Resolver Trinomios de la Forma ax² + bx + c?

 

 

El trinomio de la forma ax² + bx + c es un poco parecido al trinomio de la forma x² + bx + c algo que debemos tener en cuenta es que necesitamos conoce la forma x² + bx + c para poder comprender a perfección el caso de factorización que vamos a estudiar hoy

 

¿Qué es un trinomio de la forma ax² + bx + c?

 

Es un caso o tipo de factorización el cual permite descomponer en factores una expresión algebraica se diferencia del trinomio de la forma x² + bx + c en que el primer término siempre es un coeficiente numérico distinto de 1

 

Ejemplo de trinomio de la forma ax² + bx + c

 

20y² + y + 1

8a² - 14a – 15

2x² + 3x – 2

¿Cómo factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c?

Aquí te mostramos ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio N 1:  20x² + 7x – 6

Para resolver este ejercicio

• Multiplicamos toda la expresión algebraica por el coeficiente numérico del primer término 

El coeficiente es 20 vamos a multiplicar todo por 20 excepto el segundo término esté solo lo vamos a dejar indicado

Lo que sería igual a: 400x² + 20(7x) – 120 

• Ahora sacamos raíz cuadrada al primer término de la nueva expresión algebraica

El primer término es 400x²

Raíz cuadrada de 400x² = 20x

• Posteriormente vamos a elevar al cuadrado dicha raíz pero solo indicándola

Lo que sería igual a (20x) ²

Hasta el momento nuestra operación va de esta manera:

20x² + 7x – 6

400x² + 20(7x) – 120

(20x)² + 20(7x) – 120

• Ahora realizamos un intercambio entre los valores numéricos del segundo término pasando el 20 hacia el interior del paréntesis y el 7 hacia el exterior

(20x)² + 7(20x) – 120

• Ahora aplicaremos algunos pasos de la forma x² + bx + c

(20x)² + 7(20x) – 120

• Abrimos dos par de paréntesis y en cada par el primer término que vamos a introducir será la raíz cuadrada de (20x)² = 20x

(20x)² + 7(20x) – 120 = (20x   ) (20x  )

• En el primer paréntesis colocamos el signo que acompaña al segundo término (+)

(20x)² + 7(20x) – 120 = (20x + ) (20x )

• En el segundo par de paréntesis colocamos  resultado de multiplicar el signo del segundo y tercer término.

+ * - = -

(20x)² + 7(20x) – 120 = (20x + ) (20x - )

• Ahora debemos encontrar dos números que al restarse obtengamos el valor del segundo término 7 Y que al multiplicarse obtengamos el valor del tercer término -120

Esos números son 15 y -8

(20x)² + 7(20x) – 120 = (20x + 15) (20x - 8)

• Ahora debemos dividir el resultado (20x + 15) (20x - 8) entre el coeficiente de la cantidad original o sea entre 20

(20x + 15) (20x - 8) ÷ 20

División-entre-coeficiente

Un requisito para esta división es que cada término dentro de al menos un paréntesis sea divisible entre 20 sin embargo eso no se cumple ya que en los dos paréntesis solo hay un término divisible exacto lo que debemos hacer es descomponer el 20 en dos factores que permitan eso

Descomposición-algebraica

Esos serían 5 y 4

Cada factor para un grupo

(20x + 15) ÷ 5

(20x – 8)÷ 4

Y así obtendríamos el resultado final

 

20x² + 7x – 6

= 400x² + 20(7x) – 120 

= (20x)² + 7(20x) – 120 = (20x + 15) (20x - 8)

= (20x + 15) ÷ 5 =(4x + 3)

= (20x – 8)÷ 4 = (5x - 2)

= ( 4x + 3) (5x - 2)

Ejercicio N 2:  18a² - 13a – 15

Para resolver este ejercicio

• Multiplicamos toda la expresión algebraica por el coeficiente numérico del primer término 

El coeficiente es 18 vamos a multiplicar todo por 18 excepto el segundo término esté solo lo vamos a dejar indicado

 Lo que sería igual a: 324a² - 18(13a) - 270 

• Ahora sacamos raíz cuadrada al primer término de la nueva expresión algebraica

El primer término es 324a²

Raíz cuadrada de 324a² = 18a

• Posteriormente vamos a elevar al cuadrado dicha raíz pero solo indicándola

Lo que sería igual a (18a) ²

Hasta el momento nuestra operación va de esta manera:

18a² - 13a - 15

18a² - 18(13a) – 270

(18a)² - 18(13a) – 270

• Ahora realizamos un intercambio entre los valores numéricos del segundo término pasando el 18 hacia el interior del paréntesis y el 13 hacia el exterior

(18a)² - 13(18a) – 270

• Ahora aplicaremos algunos pasos de la forma x² + bx + c

(18a)² - 13(18a) – 270

• Abrimos dos par de paréntesis y en cada par el primer término que vamos a introducir será la raíz cuadrada de (18a)² = 18a

(18a)² - 13(18a) – 270 = (18a   ) (18a  )

• En el primer paréntesis colocamos el signo que acompaña al segundo término (-)

(18a)² - 13(18a) – 270 = (18a - ) (18a )

• En el segundo par de paréntesis colocamos  resultado de multiplicar el signo del segundo y tercer término.

-         * - = +

(18a)² - 13(18a) – 270 = (18a - ) (18a + )

• Ahora debemos encontrar dos números que al restarse obtengamos el valor del segundo término - 13 Y que al multiplicarse obtengamos el valor del tercer término - 270

Esos números son 18 y 5

(18a)² - 13(18a) – 270 = (18a - 18) (18a + 5)

• Ahora debemos dividir el resultado (18a - 18) (18a + 5) entre el primer coeficiente de la cantidad original o sea entre 18

(18a - 15) (18a + 5) ÷ 18

 

Dividir-entre-coeficiente

 

Un requisito para esta división es que cada término dentro de al menos un paréntesis sea divisible entre 18

(18a - 18) ÷ 18 = (a – 1) cada términos de este parentesis es divisible entre 18

(18a + 5)÷ 18 ya que no es divisible solo se vuelve a escribir.

Y así obtendríamos el resultado final

18a² - 13a – 15

= 324a² - 18(13a) -270

= (18a)² - 13(18a) – 270 = (18a – 15) (18a + 5)

(18a – 18) ÷ 18 = (a – 1) 

(18a + 5) ÷ 18 = (18a + 5)

= (a -1 ) (18a + 5)

Nota: el valor (18a + 5) no es una división exacta, sin embargo basta con que uno de los paréntesis sea exacto; por lo tanto el otro paréntesis solo debe volverse a plantear

Si te ha quedado alguna duda puedes hacérmela saber en los comentarios y con gusto te ayudare a aclararlo.