¿Cómo Resolver Factor Común Por Agrupación de Términos?

El factor común por agrupación de términos es una tarea que intimida al igual que muchas tareas del área de matemáticas.

En esta ocasión te explicaremos paso a paso la factorización por agrupación de términos

Antes de explicar ejercicios me gustaría que conozcamos algunos conceptos

 

¿En qué consiste la agrupación de términos?

 

Es un caso de factorización el cual consiste en la agrupación de términos que posean un factor común

Una vez agrupados se procede a formar una nueva expresión algebraica la cual al multiplicarse da origen a la expresión algebraica original.

A diferencia del factor común en estas expresiones algebraicas no es necesario que cada uno de los valores se repita la misma cantidad de términos

 

Ejemplo de factor común

 

4x + x² hay dos términos y el valor literal se repite dos veces

Ejemplo de factor por agrupación

ax + bx + ay + by en este ejemplo el valor x solo se repite dos veces, otros valores como y solo se repiten dos veces.

 

¿Cómo resolver ejercicios de factor común por agrupación de términos?

Ejercicio n 1:  ax + bx + ay + by

Para resolver este ejercicio

Las expresiones a las que se les aplica agrupación de términos suelen tener 4 término y lo primero que debemos hacer es agruparlos de dos en dos

Cada agrupación debe tener un factor común

En este caso la agrupación quedaría de esta manera 

ax + bx + ay + by

= (ax + bx ) + (ay + by)

Se encierran entre paréntesis y quedan separados por el signo del tercer termino ( + )

El primer paréntesis tiene al factor común x mientras que el segundo paréntesis tiene al factor común y

ax + bx + ay + by

= (ax + bx ) + (ay + by)

Hay otra forma de resolver este ejercicio y la veremos más adelante.

Lo siguiente es aplicarle factor común a cada paréntesis

Factor común de (ax + bx) = x(a +b)

Factor común de (ay + by) = y (a + b)

Hasta el momento la operación va así

ax + bx + ay + by= (ax + bx ) + (ay + by)

= x(a +b) + y(a + b)

El signo que acompañaba al tercer término aún lo mantenemos

El siguiente paso es aplicarle factor común a la última operación realizada

En este caso

Factor común de:

x(a +b) + y(a + b)= (a +b)(x +y)

Y entonces la solución será:

ax + bx + ay + by

= (ax + bx ) + (ay + by)

= x(a +b) + y(a + b)

= (a +b)(x +y)

Anteriormente dijimos que había otra forma de resolver el ejercicio

La forma a la que me refiero es cambiando la agrupación

No es necesario porque al final el resultado es el mismo pero nos permitirá comprender un poco más este tipo de factorización.

Forma N 2 ejercicio N 1:  ax + bx + ay + by

Para resolver este ejercicio

Lo primero que debemos hacer es agruparlos de dos en dos

Cada agrupación debe tener un factor común

En este caso la agrupación quedaría de esta manera

ax + bx + ay + by

= (ax + ay ) + (bx + by)

En cada paréntesis hay un factor común

Se encierran entre paréntesis y quedan separados por el signo del tercer termino ( + )

El primer paréntesis tiene al factor común a mientras que el segundo paréntesis tiene al factor común b

ax + bx + ay + by

= (ax + ay ) + (bx + by)

Lo siguiente es aplicarle factor común a cada paréntesis

Factor común de (ax + ay) = a(x +y)

Factor común de (bx + by) = b (x + y)

Hasta el momento la operación va así

ax + bx + ay + by

= (ax + ay ) + (bx + by)

= a(x + y) + b(x + y)

El signo que acompañaba al tercer término aún lo mantenemos

El siguiente paso es aplicarle factor común a la última operación realizada

En este caso

Factor común de: a(x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b)

Y entonces la solución será:

ax + bx + ay + by

= (ax + ay ) + (bx + by)

= a(x +y) + b(x + y)

= (x +y)(a +b)

 

Ejercicios N 2: 3m² - 6mn + 4m -8n

Para resolver este ejercicio

Lo primero que debemos hacer es agruparlos de dos en dos

Cada agrupación debe tener un factor común

En este caso la agrupación quedaría de esta manera

 

3m² - 6mn + 4m -8n

 = ( 3m² - 6mn)+(4m – 8n)

 

En cada paréntesis hay un factor común

Se encierran entre paréntesis y quedan separados por el signo del tercer termino (+)

3m² - 6mn + 4m -8n

= ( 3m² - 6mn)+(4m – 8n)

Lo siguiente es aplicarle factor común a cada paréntesis

Factor común de (3m² - 6m)= 3m(m – 2n)

Factor común de (4m – 8n) = 4 (m – 2n)

Hasta el momento la operación va así

3m² - 6mn + 4m -8n

= ( 3m² - 6mn)+(4m – 8n)

= 3m (m- 2n) + 4(m - 2n)

 

El signo que acompañaba al tercer término aún lo mantenemos

El siguiente paso es aplicarle factor común a la última operación realizada

En este caso

Factor común de:

 3m (m- 2n) + 4(m - 2n) = (m – 2n) (3m + 4)

Y entonces la solución será

3m² - 6mn + 4m -8n

= ( 3m² - 6mn)+(4m – 8n)

= 3m (m- 2n) + 4(m – 2n)

=(m – 2n) (3m + 4)

Ejercicio n 3:  2x² - 3xy – 4x + 6y

Para resolver este ejercicio

Lo primero que debemos hacer es agruparlos de dos en dos

Cada agrupación debe tener un factor común

En este caso la agrupación quedaría de esta manera

2x² - 3xy – 4x + 6y

= (2x² - 3xy) – (4x + 6y)

En cada paréntesis hay un factor común

Se encierran entre paréntesis y quedan separados por el signo del tercer termino ( - )

2x² - 3xy – 4x + 6y

= (2x² - 3xy) – (4x + 6y)

Lo siguiente es aplicarle factor común a cada paréntesis

 

Factor común de ( 2x² - 3xy)= x(2x – 3y)

Factor común de (4x – 6y)= 2(2x – 3y)

El primer paréntesis tiene al factor común  literal x (no hay factor numérico entre 2 y 3) mientras que el segundo paréntesis tiene al factor común numérico 2

Hasta el momento la operación va así

2x² - 3xy – 4x + 6y

= (2x² - 3xy) – (4x + 6y)

= x(2x – 3y) – 2(2x – 3y)

 

El signo que acompañaba al tercer término aún lo mantenemos

El siguiente paso es aplicarle factor común a la última operación realizada

En este caso

Factor común de:

 x(2x – 3y) – 2(2x – 3y) = (2x – 3y) (x - 2)

 Y entonces la solución será

2x² - 3xy – 4x + 6y

= (2x² - 3xy) – (4x + 6y)

= x(2x – 3y) – 2(2x – 3y)

= (2x – 3y) (x - 2)

 

Estos han sido todos los ejercicios, cualquier duda puedes hacermelo saber en los comentarios